Финансовые ренты


Основные понятия. Ранее рассматривались случаи, когда начисления процентов или дисконтирование производилось по отношению к одноразовому вкладу (депозиту) или ссуде. В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегулярные взносы для создания различных фондов и т.д.

Ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени называется финансовой рентой
или аннуитетом. Финансовая рента может быть охарактеризована рядом параметров:

член ренты — величина каждого отдельного платежа;

период ренты — временный интервал между двумя платежами;

срок ренты — время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа;

процентная ставка — ставка, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей, составляющих ренту.

На практике используются различные виды финансовых рент. Ренты, по которым платежи производятся раз в год, называются годовыми. При производстве платежей несколько раз в году (Р раз) ренты называются Р-срочными. Кроме того встречаются ренты, у которых период между платежами может превышать год. Все перечисленные ренты называются дискретными. Наряду с дискретными встречаются ренты, у которых платежи производятся так часто, что их можно рассматривать как непрерывные. Они так и называются — непрерывные ренты.

В зависимости от частоты начисления процентов различают ренты с начислением процентов один раз в год, несколько раз в году (m раз) и непрерывным
начислением.

С точки зрения стабильности размера платежей ренты подразделяются на постоянные (платежи — члены ренты — равны между собой) и переменные.

Рента, выплата которой не ограничена какими-либо условиями, называется правильной.

Рента, выплата которой обусловлена наступлением какого-либо события называется условной. Примером условной ренты могут служить страховые взносы, вносимо до наступления страхового случая.

Ренты могут иметь конечное число членов (ограниченные
ренты) и быть с бесконечным числом членов (вечные
ренты). Так, например, правительствами ряда стран выпускаются облигационные займы без ограничения срока погашения. Доходы по этим облигациям, выплачиваемые через определенные промежутки времени, являются членами вечной ренты.

По моменту, с которого начинается реализация рентных платежей, ренты делятся на немедленные, когда платежи производятся сразу же после заключения контракта и отложенные
(отсроченные), срок реализации которых откладывается на указанное в контракте время.

По моменту выплат членов ренты последние подразделяются на обычные (постнумерандо), у которых платежи производятся в конце соответствующих периодов (года, полугодия и т.д.) и пренумерандо, в которых платежи осуществляются в начале этих периодов. Встречаются также ренты, в которых предусматриваются поступление платежей в середине периода.

Примеры:

1)  периодическое равномерное погашение за полугодие кредита с фиксированным временем погашения и полугодовым начислением процентов — это полугодовая, правильная, ограниченная рента;

2)  абонентная плата за телефон — Р-срочная, вечная, постоянная рента пренумерандо;

3)  выплаты дивидендов от акций — условная, вечная рента постнумерандо;

4)  арендная плата за пользование землей — годовая, постоянная, вечная рента.

Обобщенными показателями ренты являются: наращенная сумма и современная (приведенная) величина.

Наращенная сумма — сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращенная сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.

Современная величина потока платежей — сумма всех его членов, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему. Современная величина показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы разбив ее на равные взносы, на которые бы начислялись установленные проценты в течение срока ренты, можно было обеспечить получение наращенной суммы.

Обобщающие характеристики ренты используются в финансовом анализе при заключении коммерческих сделок, для планирования погашения задолженности, сравнения эффективности контрактов, имеющих различные условия реализации.

Наращенная сумма ренты. Рассмотрим постоянную, обычную, годовую ренту. Например, платежи в размере 100 д.е. в течение трех лет вносятся в конце года на счет, где нарастает 5 % годовых. Тогда первые 100 д.е. будут лежать 2 года и увеличатся в конце ренты до величины 100.1,052=110,25 д.е. Аналогично вторые 100 д.е., внесенные в конце 2-го года , в конце срока ренты составляют 100.1,05=105 д.е. Последние 100 д.е., внесенные в конце 3-го года не изменяются. Таким образом, в конце срока ренты (через 3 года) взносы вместе с начисленными на них процентами составят ряд:

100.1,052; 100.1,05; 100.

Сумма этих платежей:

100.1,052+100.1,05+100=100(1,052+1,05+1)=100.3,1525=315,25.

Это наращенная сумма годовой ренты с члены R=100 д.е., срок 3 года; процентной ставкой 5 % годовых

линия времени

начало отсчета времени

Платежи д.е.

1                 2                 3

100             100             100

конец отсчета времени

100

105

110,25

315,25

 

Обобщим пример, использовав обозначения:

S — наращенная сумма ренты;

R — размер члена ренты;

і — годовая ставка процентов;

n — срок ренты в годах.

Платежи R, которые вносятся, вместе с начисленными на них процентами по окончании срока ренты составят последовательность n членов:

R.(1+i)n-1; R.(1+ i)n-2; R(1+i)n-3;…..R.(1+i); R.

Если переписать этот ряд в обратном порядке:

R; R.(1+i); R.(1+i)2; ….. R.(1+ i)n-2; R.(1+ i)n-1,

то видим, что это геометрическая прогрессия с первым членом R и знаменателем прогрессии (1+i). Сумма членов прогрессии составит:

Это формула наращенной суммы годовой, обычной, постоянной ренты.

Обозначим

 .                                        (3.1.)

Этот коэффициент — есть наращенная сумма ренты, равной 1 д.е. Он табулирован.

Тогда формулу ренты запишем в виде:


                                               (3.2.)

Если начисление процентов производят m раз в году на платежи, вносимые раз в год, то при этом используется ставка процентов j/m, где j — номинальная ставка процентов.

Очевидно, платежей с начисленными процентами будет в m
раз больше и они составят последовательность:


Сумма этой возрастающей геометрической прогрессии равна:


                     или                       (3.3.)


                                                  (3.4.)

Примеры показывают, что более частое начисление процентов увеличивает конечную сумму ренты.

Рассмотрим Р-срочную ренту, т.е. когда равные платежи вносятся Р раз в год. Если сумма годового платежа R, то разовый платеж теперь составит

. Аналогично получим формулу коэффициента наращенной суммы Р-срочной ренты, когда проценты начисления один раз в год (m=1):


                  (3.5.)

Наращенная сумма такой ренты состоит


                                          (3.6.)

Здесь

     где


,         

 — коэффициенты, которые находятся по таблицам.

Формула (3.6.) может быть использована для Р-срочной ренты, когда m=1. Если число членов ренты Р и количество начислений процентов m совпадают (Р=m), то можно использовать ранее полученную формулу, в которой i заменить на j/m; количество годов n заменить количеством начислений процентов за весь срок m.n, при этом член ренты составит R/m. Тогда получим:


                       (3.7.)

Если периоды ренты не совпадают с периодами начисления процентов (Р≠m), то такая рента называется общей. Для нее можно получить следующую формулу наращенной суммы:


                                                  (3.8.)

Разделив числитель и знаменатель этой формулы на j/m
получим:

Второй множитель в этой формуле отвечает

.

В случае, когда m.P — целое число, третий множитель можно записать как

. Тогда получаем:


.                                  (3.9)

Современная величина обычной ренты

Современная величина аннуитета — это сумма всех дисконтированных членов потока платежей на некоторый предшествующий момент времени. Этот показатель является важным на практике при страховых расчетах, погашении задолженностей, определении эффективности финансово-кредитных операций.

Рассмотрим на примере определение современной величины ренты.

Пусть планируется на протяжении 3х лет поступление платежей в размере 100 д.е. в конце года и на них начисляются проценты по ставке 5 % годовых. Продисконтируем каждый из этих 3х платежей по ставке 5 % на начало срока ренты, т.е. первые 100 д.е. дисконтируем за 1 год  и стоимость этих денег составит 100/1,05; следующие 100 д.е. дисконтируем за 2 года и стоимость их составит 100/(1,05)2; третьи 100 д.е. после дисконтирования составят 100/(1,05)3.

Покажем этот процесс расчета дисконтированных платежей схематически:

линия времени

1                 2                 3

100             100             100

95,24

90,70

86,38

272,32

начало отсчета

 

Таким образом современная величина обычной годовой ренты с параметрами R=100 д.е.; n=3 года; i=5 % составит:

Если рента срочная, т.е. момент оценки современной величины совпадает с началом ренты (как в примере) то дисконтированные платежи образуют ряд:


,

где R — рентный годовой платеж;

       i — годовая процентная ставка;

       n — срок ренты.

Это геометрическая прогрессия с первым членом R
и знаменателем

. Найдем сумму ее членов:


  .

Величину

 называют коэффициентом приведения ренты. Тогда современная величина ренты составит:


.                                          (3.10)

Анализ выражения

 показывает, что при возрастании ставки i величина коэффициента приведения аn;i
уменьшается. Следовательно, уменьшается и современная величина рентных платежей.

Годовая рента с начислением процентов m раз в году

В полученной формуле вместо выражения (1+i)-n
следует поставить

 Тогда современная величина ренты составит:

Преобразуем это выражение, умножив и разделив на j/m:


.

Первый множитель

 — это коэффициент приведения ренты со ставкой j/m; второй множитель является обратной величиной коэффициента наращения ренты:


.

Следовательно, современную величину ренты можно записать в виде:


 .                                   (3.11)

Расчет современной величины Р-срочной ренты при начислении процентной один раз в году (m=1)

При внесении рентных платежей несколько раз в году (Р-срочная рента) и начислении процентов один раз в году расчет современной величины проводят по формуле:


                           или               

 .

    Расчет современной величины с начислением процентов m раз

в году при условии, что число рентных платежей в течение

года не равно числу периодов начисления процентов (Р≠m)


.                                   (3.12)

При условии Р=m получаем:

Здесь           

Определение параметров финансовых рент

При заключении коммерческих сделок может возникнуть ситуация, когда стороны, договорившись о главных условиях, т.е. финансовых последствиях сделки — конечной сумме и сроках уплаты — должны разработать остальные условия: размер разовых платежей, частоту их поступления, процентную ставку и т.п.

Величину рентного платежа можно определить, используя раннее полученную формулу (3.2):

где S — наращенная сумма;

Sn;i
— коэффициент наращения годовой ренты.

Величину R можно определить из формулы (3.10.):

Определим срок ренты, используя  выражение

. Получаем:


  .

Прологарифмируем это выражение:

Тогда:


.                                 (3.13)

Аналогично получим значение n, использовав для этого приведенную величину:

Формулы для расчета продолжительности постоянных рент других видов приведены в таблице:

Число платежей в году

Число начислений процентов в году

Значение n в зависимости от А и S


Р=1

m=1

m>1

P>1

m=1


m=p


m≠p

Определение параметров других видов рентных платежей

Рентные платежи с простыми процентами. При расчетах рентных платежей в финансовой практике чаще всего используются сложные проценты. Вместе с тем существуют рентные платежи, в которых начисление процентов производится по ставкам простых процентов.

Предположим, что рентные платежи вносятся один раз в конце года, начисление простых процентов производится также в это время.

Последовательность платежей представляет арифметическую прогрессию. Наращенная сумма будет следующей:


,

где n — число рентных платежей (срок ренты);

      R — годовой рентный платеж;

i
— простая процентная ставка.

В Р-срочной ренте с начислением процентов один раз в году получаем:

где Ra — cсумма разового платежа,

;

N
— общее число платежей,

.

Расчет современной величины ренты при использовании методов математического дисконтирования производится по формулам:

а) для годовой ренты:


   ,        

б) для Р-срочной ренты

где t=1, 2,…;

      N — общее число платежей за весь срок ренты;

      P — число платежей в году;

      Ra — разовый рентный платеж.

Вечная рента

В качестве примера вечной ренты можно привести выпуск облигационных займов без ограничения срока погашения, доходы по которым выплачиваются через определенные промежутки времени.

Ранее имеем:

При n                   ∞ получаем


.

Тогда приведенная величина вечной ренты равна:


.

Современная величина вечной ренты зависит от величины члена ренты и принятой ставки процентов. Величина годового платежа:


.

Для общего случая вечной ренты, когда р>1 современная величина будет равна:


.

Если р=m, то


 .

Наращенная сумма вечной ренты:



Категория: управление. Дата публикации: 27 Февраль, 2010.