Отложенная рента


Современная величина отложенной на t лет ренты является дисконтированной величиной современной величины немедленной ренты по принятой для нее процентной ставке:

где   At
— современная величина отложенной ренты;

A — современная величина немедленной ренты;

Vt — дисконтный множитель за t лет.

Рента пренумерандо

В таких рентах платежи производятся в начале каждого периода. Отличие от обычной ренты сводится к числу периодов начисления процентов. Сумма членов ренты пренумерандо больше ренты постнумерандо в (1+i) раз:


,

где  S′
— наращенная сумма ренты пренумерандо;

       S — наращенная сумма ренты постнумерандо.

Для годовой ренты пренумерандо с m — разовым начислением процентов расчет наращенной суммы производится по формуле:


.

Рассмотренные ранее ренты называют немедленными, так как срок их действия начинается немедленно после заключения договора. Срок действия отложенных рент запаздывает относительно этого момента. Величина временного интервала от настоящего момента до начала ренты называется периодом отсрочки.

Отложенная рента представляет собой немедленную ренту, сдвинутую во времени на период отсрочки. Поэтому текущая стоимость отложенной ренты равна текущей стоимости немедленной ренты, дисконтированной на интервал времени, равный периоду отсрочки.

Для Р-срочной ренты имеем:


,


.

3.2. Переменные потоки платежей

В предыдущих темах были рассмотрены потоки платежей, в которых члены потока были постоянными величинами. На практике встречаются потоки платежей, члены которых изменяются по своей величине в течение срока ренты. Это может быть обусловлено рядом факторов. Например, сумма амортизационных отчислений зависит от количества и стоимости имеющихся в наличии основных фондов. При изменении их количества соответственно изменяются и их стоимость и величина амортизационных отчислений. То есть ряд производственных или коммерческих факторов могут влиять на изменение величины членов потока платежей.

Поток последовательных платежей, члены которого не являются постоянными величинами, называется переменной рентой. Изменения величины последовательных платежей в ряде случаев может быть описано каким-либо законом. В других случаях их изменение происходит без всяких видимых закономерностей и такая последовательность платежей представляет собой нерегулярный поток платежей.

Рассмотрение переменных дискретных потоков платежей начнем с переменной ренты с разовыми изменениями размера члены ренты.

Предположим, что срок ренты n лет и он разбит на К временных отрезков (t = 1, 2,…,K). Продолжительность временных отрезков составляет n1, n2,…,nk; n = n1+n2+…+nk.
Член ренты Rt — величина постоянная только в пределах каждого временного отрезка, т.е. Rt1 , Rt2 , …Rtk

Проценты начисляются в каждом временном отрезке по ставкам i1, i2,…,ik в конце года. При соблюдении данных условий наращенная сумма годовой ренты будет равна:

Коэффициенты наращивания годовой ренты SK;i
определяются по ранее полученной формуле:


.

Современная величина годовой ренты:


.


.

Коэффициенты приведения годовой ренты an;i определяются по формуле:


.

Для определения наращенной суммы или современной величины в Р-срочной ренте используются соответствующие коэффициенты наращивания

 или приведения

.

Переменные ренты с постоянным абсолютным и относительным изменением  ее членов

Ренты с постоянным абсолютным изменением ее членов. Имеется рента, члены которой вносятся в течение n лет в конце года таким образом, что каждый член больше предшествующего на постоянную величину d, т.е. члены ренты изменяются по закону возрастающей арифметической прогрессии. Одновременно на члены ренты начисляются один раз в конце года сложные проценты по ставке i. Требуется определить наращенную сумму этой ренты.

Обозначим первый член ренты R. Тогда к концу срока ренты, т.е. в конце n-го года, ее члены достигнут величин:

Первый член —
R . (1 + i)n-1

Второй член —
(R + d) (1 + i)n-2

Третий член —
(R + 2d) (1 + i)n-3

——————————————

Предпоследний член — [R + (n-2) d] . (1 + i)

Последний член — R + (n-1) . d

Сложив все члены ренты, найдем наращенную сумму к концу ее срока. Обозначим 1 + i = r. Тогда сумма членов ренты будет равна:

S = R· rn-1 + (R+d) · rn-2 + (R+2d) · rn-3 +…+[R+(n-2)d] · r+[R+9n-1)d].

Преобразуем полученное выражение:

S = R· (rn-1 +·rn-2 + rn-3 +…+ r+1) + d [rn-2 + 2. rn-3 +...+(n-2) r + (n-1)].

В первой скобке правой части полученного выражения мы имеем сумму членов геометрической прогрессии, первый член которой R, а знаменатель r = 1+i.

Получаем

S = R× Sn; i + d × Q, где Q = rn-2 + 2 × rn-3 +…+ (n-2) r + n-1

Умножим Q на r и найдем разность:

Q × r — Q = rn-1 + rn-2 + rn-3 +…+r-n,

Q(r-1) = Sn; i — n,

Q . i = Sn; i — n,


.

Тогда

Для рент пренумерандо, т.е. когда платежи вносятся в начало каждого года, при сохранении условия, что каждый новый платеж увеличивается по сравнению с предыдущим на постоянную величину d, наращенная сумма ренты определяется по формуле:

Приведенная формула справедлива при использовании коэффициентов наращивания, рассчитанных для рент постнумерандо.

При использовании коэффициентов наращивания, рассчитанных для рент пренумерандо, наращенная сумма определяется по формуле:

Для нахождения современной величины переменной ренты с возрастающими на постоянную величину d членами воспользуемся выражением:

S = A (1+i)n

Откуда находим:

A = S (1+i)-n

Ренты с постоянным относительным изменением платежей. Имеется рента, члены которой вносятся в течение n лет в конце года таким образом, что каждый член больше предшествующего в q раз, т.е. члены ренты изменяются по закону возрастающей геометрической прогрессии. Одновременно на члены ренты начисляются в конце каждого года сложные проценты по ставке i. Если обозначить первый член ренты R, то к  концу n-го года ее члены образуют ряд:

R(1+i)n-1, R.q(1+i)n-2,…,R.qn-2(1+i), R.qn-1

Наращенная сумма S представляет собой сумму членов этого ряда:


.

Приведенная величина такой ренты равна:


 .

Для Р-срочной ренты современная величина находится по формуле:


.



Категория: управление. Дата публикации: 27 Февраль, 2010.