Простые проценты


Сущность процентных платежей. Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока, на который предоставлен кредит, и от величины ссудного процента или иначе процентной ставки.

Процентная ставка характеризует доходность кредитной сделки. Она показывает, какая доля выданного кредита будет возвращена владельцу капитала в виде дохода. Поэтому процентная ставка рассчитывается, как отношение дохода, полученного за определенный период (чаще всего за год), к величине капитала, предоставляемого в кредит. Величина процентной ставки определяется отношением:


где i — процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

      I — величина дохода владельца капитала;

      Р — сумма капитала, предоставляемого в кредит;

      n — срок ссуды в годах.

Используя выражение (2.1.) определим величину дохода:


Здесь i ( %) — процентная ставка, выраженная в процентах.

Величину I часто называют процентными деньгами или процентным доходом, а иногда просто процентами.

В большинстве случаев начисление процентов производится с помощью дискретных процентов, т.е. когда в качестве периодов начисления берутся год, полугодие, квартал, месяц или определенное число дней. В некоторых случаях используется ежедневное начисление.

Существуют различные методы начисления процентов. Основные их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться. В зависимости от этого различают следующие методы начисления процентов:

по простым процентным ставкам;

по сложным процентным ставкам.

Сущность метода начисления по простым процентам сводится к тому, что проценты начисляются в течение всего срока кредита на одну и ту же величину капитала, предоставляемого в кредит.

Метод начисления по сложным процентам заключается в том, что в первом периоде начисление производится на первоначальную сумму кредита, затем она суммируется с начисленными процентами и в каждом последующем периоде проценты начисляются на уже наращенную сумму. Таким образом, база для начисления процентов постоянно меняется. Иногда этот метод называют «процент на процент».

Другое отличие в методах начисления процентов — это установление процентной ставки в качестве фиксированной или переменной величины. Так, например, в контракте может быть определена процентная ставка на первый год в одном размере, а на последующие годы предусматривается ее рост (снижение) на определенную величину. Кроме того, могут применяться и «плавающие» ставки, величина которых «привязывается» к темпам инфляции или изменяющимся ставкам рефинансирования, объявленным Центральным банком, или же ее изменение оговаривается какими-либо другими условиями. Например, в контракте оговаривается первоначальная процентная ставка (базовая ставка), которой пользуются только один период для начисления процентов (допустим, первый квартал), в дальнейшем она будет расти в соответствии с ростом темпов инфляции.

Вычисление наращенных сумм на основе простых процентных ставок. По условиям кредитного контракта процентные деньги могут выплачиваться кредитору или по мере их начисления в каждом периоде, или совместно с основной суммой долга по истечении срока контракта. В последнем случае сумма, получаемая кредитором называется наращенной суммой. Таким образом, наращенная сумма есть результат сложения суммы, предоставляемой в кредит, и процентных денег.

Формула определения наращенной суммы с использованием простых процентов (формула простых процентов) запишется в следующем виде:



где S — наращенная сумма.

Выражение (1+n.i) называется множителем наращения процентов.

При  использовании простых процентов, когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, периоды начисления процентов выражают дробным числом, т.е. как отношение числа дней функционирования сделки к числу дней в году:


где t — число дней функционирования сделки (число дней, на которое предоставили кредит);

К — временная база (число дней в году).

Тогда формула (2.4.) примет вид:


В ряде стран для удобства вычислений год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждом, т.е. продолжительность года К принимается равной 360 дням. Это германский метод начисления процентов. Проценты, рассчитанные с временной базой К = 360 дней, называются объективными или коммерческими. Существует французский метод, когда продолжительность года принимается равной К = 360 дням, а продолжительность месяцев в днях соответствует календарному исчислению. И наконец, в ряде стран используется английский метод, учитывающий продолжительность года в 365 дней, а продолжительность месяцев — в днях, также соответствующих календарному исчислению, как и при использовании французского метода.

В этой связи различают три метода процентных расчетов, зависимых от выбранного периода начисления.

1.Точные
проценты с точным числом дней ссуды (английский метод). При этом методе продолжительность года К приниается равной 365(366) дням и определяется фактическое число дней t между двумя датами (датой получения и погашения кредита).

2.Обыкновенные
проценты с точным числом дней ссуды (французский метод). При этом методе величина t рассчитывается, как и в предыдущем методе.

3.Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германский метод).При этом методе величина t определяется количеством месяцев по 30 дней в каждом, начиная с момента выдачи ссуды и до момента ее погашения и точным числом дней ссуды в неполном месяце; продолжительность года К = 360 дней.

При точном и приближенном методах начисления процентов день выдачи и день погашения ссуды принимаются за 1 день.

Между величинами процентного дохода, рассчитанными с использованием различной временной базы (I360 и I365), при равной продолжительности ссуды t существуют следующие соотношения:


Данные соотношения характеризуют зависимость величины процентного дохода от выбранной временной базы.           Они также могут быть использованы при определении эквивалентных процентных ставок, т.е. ставок, приносящих финансовые процентные доходы при различных временных базах, на равных первоначальных капиталах:



При установлении переменной процентной ставки, т.е. дискретно изменяющейся во времени ставки, наращенная ставка определяется по формуле:


где it — ставка простых процентов в периоде t;

      nt — продолжительность начисления ставки it;

      m — число периодов начисления процентов.

Выше нами рассматривались методы расчета наращенной суммы, когда она является результатом сложения процентного дохода и капитала, предоставленного в кредит. При этом начисление процентов производилось в конце расчетного периода. Такой метод начисления процентов называется декурсивным
(последующим).

Наряду с рассмотренным методом начислений существует метод, когда прибавляют к начислению процентов уже наращенные в предыдущем периоде суммы, т.е. происходит многоразовое наращение, именуемое реинвестированием
или капитализацией процентного дохода.

В этом случае итоговая наращенная сумма определяется по формуле:


где n1, n2, nt — продолжительность периодов наращения;

      i1, i2, it — процентные ставки, по которым производятся реин – вестирование.

Данный метод начисления процентов (с переменной базой) будет подробно рассмотрен в разделе, посвященном сложным процентам.

Вычисление наращенных сумм на основе простых учетных ставок. Наряду с декурсивным методом существует и другой способ начисления процентов. Суть его сводится к тому, что проценты начисляются в начале расчетного периода, при этом за базу (100 %) принимается сумма погашения долга. В этом случае применяется не процентная, а учетная ставка (d). Такой метод начисления процентов носит название антисипативный (предварительный). Расчет наращенной суммы производится по формуле:


где Р — капитал, предоставляемый в кредит,

n
— продолжительность кредита в годах,

d
— учетная ставка, выраженная десятичной дробью,

1 / (1 – n×d) — множитель наращивания.

В случае, если учетная ставка выражена в процентах, множитель наращивания имеет вид:



Таким образом, мы убедились, что простая учетная ставка дает более быстрый рост наращенной суммы, чем аналогичная по величине ставка простых процентов.

При равенстве простой процентной ставки і и простой учетной ставки d (20%) различие в величине множителей наращения определяется сроком ссуды :

Вид ставки

Срок ссуды в годах — n

1/12

1/4

1/2

1

2

5

i

1,0167

1,05

1,1

1,2

1,4

2,0

d

1,0169

1,0526

1,1111

1,25

1,667

-

Процентные вычисления с использованием дивизора. В мировой финансовой практике наряду с рассмотренными методами процентных вычислений существует и ряд других. В частности, применяется модификация формулы для определения величины процентного дохода:




Если n = 1 год, то, используя эту формулу, определим одномесячный процентный доход.

Величина дохода за m месяцев определяется по формуле:




Однодневный процентный доход следует рассчитывать, исходя их того, что продолжительность года принимается равной 360 или 365 (366) дней. Тогда получаем:


Для числа дней t процентный доход (платежи) составит:


В случаях, когда срок ссуды составляет менее одного года, для удобства вычислений формулу (2.13.) преобразуют: делят числитель и знаменатель на величину процентной ставки, выраженный в процентах:


где произведение P.t называют процентным числом, а частное 36000 / i
или 36500 / i — процентным ключом, или постоянным делителем. В финансовой литературе процентный ключ имеет еще одно наименование — дивизор
(обозначение D).

Дисконтирование по простым процентным ставкам

Стоимость денег и время. Деньги постоянно меняют свою стоимость. Основной концепцией теории финансов есть то, что одна денежная единица сегодня имеет большую стоимость, чем одна денежная единица завтра, через месяц, год. Инвесторы (люди, которые имеют свободные деньги) дают предпочтение тем деньгам, которые у них сегодня, а не тем, которые будут завтра, потому что они дают им возможность снова из денег делать деньги.

Прежде чем вложить свои деньги в какое-нибудь дело, каждый инвестор должен хорошо определить выигрыш и затраты, которые ждут его в будущем. Таким образом, деньги со временем теряют свою стоимость и не могут быть неподвижными. Основными причинами обесценивания денег есть: инфляция; риск; склонность к ликвидности.

Если годовой теми инфляции (общее повышение цен) 20 %, то соответственно покупательная способность одной денежной единицы снизилась на 20 %, т.е. в начале года за 1 д.е. можно купить 10 единиц какого-то товара, а в конце года за нее можно купить лишь 8 единиц.

Рынок означает неуверенность в будущем. Невозможно точно предвидеть, вернуться ли завтра деньги, вложенные сегодня (из-за инфляции и др.). Поэтому каждая финансовая сделка имеет определенный процент риска. Даже финансовые аналитики, опытные инвесторы, несмотря на их компетентность, не могут гарантировать, что доходы, которые они ожидают от некоторых инвестиций, будут такими в будущем. Чем больший период использования денег, тем больший риск, что соответственно уменьшает ожидаемую стоимость денег.

Склонность к ликвидности денег колеблется. Наиболее ликвидные «живые» деньги. За них можно купить все. Одновременно деньги, вложенные в ценные бумаги, товар и т.д., уже менее ликвидны, т. к. для того, чтобы снова перевести ценные бумаги и товар в деньги, требуется время. Поэтому кредиторы или инвесторы, отдавая свои «живые» деньги, надеются на высокие будущие доходы, чтобы оправдать риск и потерю ликвидности.

Будущая стоимость денег — это наращенная сумма S, т.е. сумма, которую следует уплатить через определенное время n за пользование деньгами P. Стоимость денег сегодня, т.е. на данный момент времени Р0
называется текущей стоимостью.

Таким образом, какая-либо сумма денег имеет три характеристики: начальную стоимость Р0 — стоимость на начало отсчета времени, текущую стоимость Р
— стоимость на какой-либо момент времени, будущую стоимость S — стоимость на конец отсчета времени.

Чтобы начальная сумма Р0 денег не утратила своей стоимости, на нее следует начислить проценты по ставке не меньшей от нормы банковского процента.

В финансовой практике часто приходится решать задачу обратную процессу наращивания, а именно: по известной будущей величине денег, которые следует уплатить за определенное время n, определить начальную сумму Р0.



Например: клиент хочет через 2 года иметь на счете 20000 д.е. Какую сумму он должен положить сегодня в банк, если он платит 30 % годовых простых. Легко получаем следующий результат:

20000 = P(1+2×0,3)  ,

P = 20000/1,6 = 12500 д.е.

Неравноценность денег в разные календарные сроки вызвала к жизни важное понятие дисконтирования. Эта процедура является обратной по отношению к процессу начисления процентов. Дисконтированием называется авансовое удержание с заемщика процентов в момент выдачи ссуды, то есть до наступления срока ее погашения.

Другим вариантом дисконтирования является учет векселей в банке, когда банк принимает вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселе сумму до срока его погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг (долговых обязательств).

Исходной величиной выступает не начальный вклад Р, а некоторая будущая сумма S. Вопрос состоит в том, чтобы определить эквивалентную сумму Р, отстоящую на t
предшествующих периодов до срока выплаты S. В зависимости от принятого критерия эквивалентности можно выделить два подхода к расчету предшествующих сумм.

Во-первых, по размеру вклада Р, который при начислении процентов через t периодов дает сумму S, и, во-вторых, по размеру платежа к которому придем при удержании процентов с финальной суммы S за срок
t. Таким образом, при одном толковании за базовую величину, то есть за 100 %, принимается размер вклада Р, в то время как при другой — за 100 % берется будущая сумма S. Кроме того, по каждому варианту дисконтирование можно производить как по простым так и по сложным процентам.

При дисконтировании определяют так называемые мультипликаторы (дисконтные множители), показывающие, какую долю составляет Р в величине S. Величину Р, найденную дисконтированием S по вкладу, называют современной, или приведенной величиной S. Это понятие является важнейшим в количественном анализе финансовых операций, т.к. именно с помощью дисконтирования учитывается такой фактор, как время.

Формулы дисконтирования по платежу (второй подход) можно получить, используя известные формулы с заменой схемы начисления процентов на вклад Р схемой их удержания с суммы S
за тот же срок платежа. За основу их построения можно принять понятие единичного, периода удержания процентов (дисконтирования) и учетной ставки d, которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы S на один период “назад”. Отсюда следует, что на начало этого периода эквивалентная выплате S сумма составит величину Р, которая при дробном измерении ставки определяется формулой:


.

По простым процентам за t периодов получим величину:

Данный вид дисконтирования используется при учете векселей.

Виды дисконтирования

Таким образом, дисконтирование — это определение начальной или современной суммы Р по известной конечной сумме S, которую следует отдать через некоторое время n. Разность S — P называется дисконтом и обозначается D.

Дисконт — это процентные деньги, начисленные и полученные заранее.

Сумму Р, вычисленную при дисконтировании, часто называют приведенной величиной платежа S.

Задача дисконтирования возникает очень часто при выработке условий контракта между двумя предприятиями, различными объектами хозяйствования, при определении настоящей рынковой стоимости векселей акций, облигаций и других ценных бумаг. Различают два вида дисконтирования: математическое и банковское.

Математическое дисконтирование

При математическом дисконтировании решается задача, обратная определению наращенной суммы. Сформулируем ее следующим образом: какую сумму следует выдать в долг на n лет, чтобы при начислении на нее процентов по ставке i получить наращенную сумму, равную S.

Для решения этой задачи используют формулу наращения по простой ставке процентов (2.4.):

где 1 / (1+n.i) — дисконтный множитель, показывающий, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной.

Используя приведенные формулы рассчитаем величину эффективной годовой процентной ставки:


        или                       

   .

Банковское дисконтирование

Банковское дисконтирование основано на использовании учетной ставки d, т.е. проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды.

При банковском дисконтировании дисконтированная величина определяется по формуле:

где Р¢
— дисконтированная величина;

       S —  наращенная сумма долга;

       d — учетная (дисконтная) ставка, выраженная в десятичных дробях;

n – временный интервал от момента учета финансового инструмента до даты  уплаты по нему в годах.

Дисконтирование с помощью математического и банковского методов, т.е. по процентной ставке i и учетной ставке d приводит к различным финансовым результатам. При использовании учетной ставки фактор времени учитывается более “строго”.

В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещаются начисление процентов по ставке i и дисконтирование по ставке d. В этом случае наращенная величина ссуды будет определяться по формуле:


 ,

где Р — сумма, предоставленная в кредит;

       n — общий срок платежного обязательства;

       n¢ — срок от момента учета обязательства до даты погашения долга, т.е. n¢< n;

       S — сумма, полученная при учете обязательства.

Определение параметров по простым процентам



В процессе подготовки кредитного договора, когда согласовываются его основные параметры (сумма погашения долга S, процентная ставка i или учетная ставка d, величина ссуды Р), срок погашения ссуды определяется по формуле:

где n — срок ссуды в годах.



Для определения срока ссуды в днях следует воспользоваться формулой:

где К = 360 или 365 (366) дней.

Определение срока ссуды при использовании учетной ставки производится по формуле:




В случае, когда срок ссуды определяется в днях получаем:

Определение условия процентной и учетной ставок по остальным параметрам сделки производится следующим образом:


Расчет простых процентов в условиях инфляции

При начислении процентов может быть учтена инфляция — снижение покупательной способности денег. Инфляцию характеризуют два показателя: уровень инфляции и индекс инфляции. Уровень инфляции показывает, на сколько процентов изменяются цены за некоторый период времени, а индекс инфляции — во сколько раз выросли цены за период времени.

Уровень инфляции и  индекс инфляции за один и тот же период связаны соотношением:

          или   

где I(t)
— индекс инфляции;

t — уровень инфляции.

Покупательная способность наращенной суммы с учетом инфляции S(t) должна быть равна покупательной стоимости суммы S при отсутствии инфляции:

где DS — сумма, которая должна быть добавлена к сумме S для сохранения ее покупательной способности. При этом

.

Рассмотрим случай, когда ссуда в условиях инфляции выдается в начале года с последующим погашением в конце года.

При простой ставке процентов i за один год (n=1) получим наращенную сумму:


.

Предположим, что задан годовой уровень инфляции t. Тогда

DS=S.t  .

Отсюда:


.

В условиях инфляции погашаемая сумма за год должна составить:


.

В то же время:


,

где i (t)
— простая ставка процентов при выдаче ссуды, учитывающая   инфляцию;

      К (t) — множитель наращивания в условиях инфляции.

В результате имеем:


 ,


.

Ставка процентов по кредитам со сроком не менее года (n < 1) может быть определена по формуле:


.

На практике часто используют приближенное значение ставки процентов по кредиту в условиях инфляции:


.

Погашаемую сумму с учетом инфляции при n < 1 можно определить по формуле:



Рассмотрим случай, когда при заданном годовом уровне инфляции ссуда выдается на срок больше года (n > 1). Если n — целое число, то получим:

Тогда получим:



Категория: управление. Дата публикации: 27 Февраль, 2010.