Сложные проценты


Вычисление наращенной суммы.В финансовой практике широко используются сложные проценты. Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на эту, уже наращенную величину первоначального капитала. Процесс наращения капитала в этом случае происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам называют капитализацией.

Различают годовую капитализацию (процентный платеж начисляется и присоединяется к ранее наращенной сумме в конце года), полугодовую, квартальную, месячную и ежедневную.

Так же, как и при вычислении простых процентов, существует два способа начисления сложных процентов: антисипативный
(предварительный) и декурсивный
(последующий).

Рассмотрим декурсивный метод. В этом случае начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения.

Величину первоначальной суммы (капитала), на которую начисляются проценты, т.е. текущую стоимость капитала, обозначим Р. Сумму, полученную в результате начисления сложных процентов на текущую стоимость, будем называть наращенной суммой или конечной стоимостью капитала S. Процентную ставку и срок ссуды обозначим соответственно i и n.

В конце 1-го года наращенная сумма составит:


.

В конце 2-го года проценты начисляются на уже наращенную сумму:


,

и т.д., т.е. в конце n-го года наращенная сумма будет равна:


                                             (2.15)

Следовательно, наращенная сумма за весь период может быть получена, как сумма членов геометрической прогрессии, первый член который равен Р, а знаменатель — (1+i).

Величину (1+i) называют сложным декурсивным коэффициентом, а величину (1+i)n
— множителем наращивания сложных процентов.

Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, на заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма составит:

где i1, i2, ik — последовательные значения ставок процентов;

 n1, n2, nk
— периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Наряду с изменяющимися процентными ставками могут использоваться "плавающие" ставки, т.е. ставки, рост которых "привязывается" к темпам инфляции или какому-либо другому показателю, например, ставкам рефинансирования, устанавливаемых Центральным банком страны. В этом случае невозможно заранее рассчитать наращенную сумму.

Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые финансовые результаты. Различия между ними обусловлены сроками сделок. Так, при равной величине простых и сложных процентных ставок (in = ic), при сроке ссуды менее одного года (n < 1), наращенная сумма, вычисленная по простым процентам, будет больше наращенной суммы, вычисленной по сложным процентам, т.к.

где in и ic — ставки простых и сложных процентов.

При сроке сделки больше года (n > 1) наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам, т.к.


.

Эти различия можно проследить по таблице:

Сравнение множителей наращения

(in = ic = 15 %)

множители наращения

Срок ссуды   n

30 дней

180 дней

1 год

5 лет

10 лет

20 лет

1+nin

1,0125

1,0750

1,15

1,750

2,5

4,0

(1+ic)n

1,0117

1,0724

1,15

2,0114

4,0456

16,366

Множители наращения рассчитаны для временной базы К
= 360 дней.

Используя коэффициенты наращения по простым и сложным процентным ставкам, определим время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в N раз.

Чтобы первоначальная сумма Р увеличилась в N раз, необходимо, чтобы коэффициенты наращения были равны величине N, т.е.

а) для простых процентов 1+nin=N, откуда:


  ,

б) для сложных процентов (1+ic)n = N, откуда:

Наиболее часто решается задача по определению времени, необходимого для удвоения первоначального капитала, т.е. N = 2. Тогда:

а) при удвоении по простым процентам:

б) при удвоении по сложным процентам:

Приблизительно

.

Номинальная и эффективная ставка процентов

Номинальная ставка. В контрактах на получение кредитов, в депозитных договорах условиями часто предусматривается капитализация процентов несколько раз в году — по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. В подобных случаях можно использовать формулу (2.15.), в которой величина n будет обозначать общее число периодов капитализации процентов, а ставка i — процентную ставку за соответствующий период. Например, если кредит выдан на 2 года с квартальным начислением процентов по ставке i = 5 %, то множитель наращения будет равен (1+0,05)4.2=1,4775.

Однако, на практике указывается не квартальная или месячная процентная ставка, а годовая ставка, которая называется номинальной. Кроме того, указывается число периодов m
начисления процентов в году. Тогда для начисления процентов m раз в году используется формула:


,                                     (2.16)

где j — номинальная годовая процентная ставка;

m
— число периодов начисления процентов в году;

N
— число периодов начисленных процентов за весь срок контракта; N=n.m, где n — число лет.

При увеличении числа периодов m
начисления процентов возрастает темп процесса наращения.

Эффективная ставка. Эффективная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получает кредитор в целом за год. Иначе говоря, она отвечает на вопрос: какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m-разовом начислении процентов в году по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через . Равенство наращенных сумм будет обеспечено в том случае, если равны первоначальные суммы Р, периоды наращения n и множители наращения, т.е.


                 отсюда


,

т.е. эффективная процентная ставка больше номинальной.

Из последнего выражения получаем:

Для определения номинальной и эффективной ставок сложных процентов можно использовать формулы для вычисления наращенных сумм.

Из выражения

находим ставку i:


      

Аналогично из выражения

находим ставку j:


  .

Срок ссуды при наращении по номинальной ставке процентов равен:


 ,

а при наращении m раз в году:


  .

Вычисление наращенной суммы на основе сложных антисипативных процентов

Принцип начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу при использовании простых антисипативных процентов. суть метода заключается в том, что если в первом периоде (n = 1) наращенная сумма определяется по формуле:


 ,

то во втором периоде она будет равна


  .

В общем виде формула наращенной суммы может быть записана в виде:


 ,                                   (2.17)

где

 — коэффициент наращения при вычислении сложных антисипативных процентов;

            d — учетная ставка сложных процентов;

            n — число лет.

При наращении сложных процентов по учетной ставке несколько раз в году (m раз) наращенная сумма определяется по формуле:


  ,                                              (2.18)

где j — номинальная учетная ставка;

m
— число периодов начисления процентов;

n
— число лет.

Дисконтирование по сложной процентной ставке

Математический метод дисконтирования может применяться с использованием не только простой, но и сложной процентной ставки.

Для этого из выражения

 найдем Р:


                                        (2.19)

где

 — дисконтный (учетный) множитель. Значения этого множителя табулированы. При начислении процентов m раз в году получим:


                    (2.20)

где

 — дисконтный множитель.

Величину Р, найденную дисконтированием величины S, называют современной или приведенной
величиной.

Разность S — P=D’ является дисконтом.

Тогда

                   или

Дисконтирование по сложной учетной ставке

В учетных (дисконтных) операциях широко применяется сложная учетная ставка.

В этом случае дисконтирование осуществляется по формуле:


  ,                                               (2.21.)

где — сложная годовая учетная ставка.

Дисконт вычисляется как разность


                (2.22.)

Зная величины
S, P и n, можно определить значение сложной учетной ставки . Из выражения

следует, что


                                      откуда


                             (2.23.)

Различие в величине дисконтных множителей при использовании простой и сложной учетных ставок, равных по своей величине, зависит от срока ссуды.

Расчеты сложных процентов в условиях инфляции

Как и в случае простых процентов покупательная способность наращенной суммы с учетом инфляции S(t)
должна быть равна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции

где DS — сумма, которая должна быть добавлена к сумме S для сохранения ее покупательной способности (DS=S×t)

Имеем

. Тогда

За n лет получаем:

Тогда                    

        .                         (2.24)

С другой стороны:


         .                                     (2.25)

Приравняем правые части (1) и (2)


   

,


      

 .

Покупательная способность первоначальной суммы Р
денег при ставке i и уровне инфляции t может быть рассчитана по формуле:


  .                   (2.26)



Категория: управление. Дата публикации: 27 Февраль, 2010.